PROG0104 - Basel problem

Around 1735, Swiss mathematician Leonard Euler fixed the famous Basel problem. He found an exact expression for the infinite sum \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots \]. Euler proved that this sum equals $\frac{\pi^2}{6}$. We write down the partial sums of this sequence as $f_n$. In other words, \[ f_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \] For these partial sums, Euler proved that \[ \lim_{n\to\infty} f_n = \frac{\pi^2}{6} \]

Input

No input

Output

Two lines:

  • first line: the value of $f_{100}$ as a decimal number,
  • second line: the smallest value $n \in \mathbb{N}$ for which $|f_n - \frac{\pi^2}{6}| \leq \frac{1}{100}$.

Omstreeks 1735 loste de Zwitserse wiskundige Leonard Euler het beroemde probleem van Basel op. Hij vond namelijk een exacte uitdrukking voor de oneindige som \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots \] Euler bewees dat deze som exact gelijk is aan $\frac{\pi^2}{6}$. We noteren de partieelsommen van deze reeks als $f_n$. Met andere woorden \[ f_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \] Voor deze partieelsommen bewees Euler dus dat \[ \lim_{n\to\infty} f_n = \frac{\pi^2}{6} \]

Invoer

Geen invoer

Uitvoer

Twee regels:

  • eerste regel: de waarde van $f_{100}$ als een decimaal getal,
  • tweede regel: de kleinste waarde $n \in \mathbb{N}$ waarvoor $|f_n - \frac{\pi^2}{6}| \leq \frac{1}{100}$.

Added by:Peter Dawyndt
Date:2011-08-04
Time limit:10s
Source limit:50000B
Memory limit:1536MB
Cluster: Cube (Intel G860)
Languages:PY_NBC
Resource:None

© Spoj.com. All Rights Reserved. Spoj uses Sphere Engine™ © by Sphere Research Labs.